Как решать пределы с натуральным логарифмом

Как решать пределы с натуральным логарифмом

Рассмотрим пределы логарифмов, которые можно найти с помощью следствия из 2-го замечательного предела.

Следствие 2-го замечательного предела:

Это следствие распространяется и на пределы логарифмов, в которых на месте x стоит некоторая функция f(x), если f(x)→0 при x→0, то есть

Рассмотрим, как находят пределы на логарифмы на примерах.

Найти предел функции:

Приводим выражени под знаком предела к такому виду, чтобы можно было применить нашу формулу (*):

так как по следствию из 2-го замечательного предела

Преобразуем выражение -1+cos x:

Теперь приведем предел с логарифмом к виду (*)

С пределом логарифма разобрались:

осталось убрать неопределенность 0 на 0, возникшую с появлением синуса. По 1-му замечательному пределу

Преобразовываем выражение так, чтобы применить этот замечательный предел:

Сокращаем дробь на x², имеем:

По теореме о разложении квадратного трехчлена на множители: x²-7x+10=(x-2)(x-5).

Сокращаем дробь на (x-2):

Так как при x→2 x²-7x+10→0, то

Значит, окончательный ответ

Дальше мы увидим, что пределы на логарифмы удобно находить, используя эквивалентность бесконечно малых величин.

Часто в контрольных работах нужно вычислить пределы с логарифмами. Такие задачи можно решить двумя способами:

  1. С помощью следствия второго замечательного предела: $$ lim limits_ frac<ln(1+f(x))>= 1 ext <, если >f(x) o 0 $$
  2. С помощью свойства бесконечно малой эквивалентной функции: $$ ln(1+f(x)) sim f(x) ext <, если >f(x) o 0 $$

Оба метода решения допустимы к сдаче преподавателю на проверку. Выберите для себя самый удобный, который будете легко понимать

Метод 1: Воспользуемся следствием замечательного предела и приведем предел к виду похожему на него: $$ limlimits_ frac<ln(1+8x)> <2x>= limlimits_ frac<frac<ln(1+8x)><8x>cdot small 8x> <2x>= $$

Замечаем, что $ lim limits_ frac<ln(1+8x)> <8x>= 1 ext <, так как >8x o 0 $

Продолжаем решение с учетом замечания:

Метод 2: Используем свойство б.м.э. функции для преобразования натурального логарифма:

$$ ln(1+8x) sim 8x ext <, при >8x o 0 $$

Решаем с учетом вышеприведенной эквивалентности:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Вычислить предел с логарифмом: $ limlimits_ frac<ln(1+8x)> <2x>$
Решение
Ответ
$$ limlimits_ frac<ln(1+8x)> <2x>= 4 $$
Читайте также:  Как выбрать смарт приставку андроид к телевизору

Метод 1: Выполняем преобразование под следствие замечательного предела:

Видно, что $ limlimits_ frac<ln(1 + x^2-7x+10)> = 1 $ по след. замеч. предела. С учетом этого, продолжим вычислять интеграл:

Логарифм пропал. Решим квадратное уравнение в числителе и распишем его на множители:

Метод 2: Решение начнем с преобразования предела:

Так как $ x^2-7x+10 = 0 ext <при>x = 2 $ , то имеем:

$$ ln(1 + (x^2-7x+10)) sim x^2-7x+10 $$

С учетом эквивалентности продолжаем решать:

Выполним разложение многочлена второй степени на множители:

В процессе нахождения предела показательно-степенной функции типа lim x → x 0 ( f ( x ) ) g ( x ) часто работаем с такими степенными неопределенностями, как " open=" 1 ∞ , " open=" 0 0 , " open=" ∞ 0 .

Для их раскрытия необходимо задействовать логарифмирование a = e ln ( a ) , свойство логарифма a · ln ( b ) = ln ( b a ) и применение его предела заданной непрерывной функции, причем ее знак разрешено менять местами.

Для этого производятся преобразования вида:

lim x → x 0 ( f ( x ) ) g ( x ) = e ln lim x → x 0 f ( x ) ) g ( x ) = e lim x → x 0 ( ln ( f ( x ) ) g ( x ) = e lim x → x 0 ( g ( x ) ln ( f ( x ) ) ) = = e lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) 1 g ( x )

Отсюда видно, что задание приводится к нахождению предела заданной функции вида e lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) 1 g ( x ) = " open=" ∞ ∞ или " open=" 0 0 .

Данный случай рассматривает методы:

  • непосредственного вычисления;
  • использования правила Лопиталя;
  • с заменой эквивалентных бесконечно малых функций;
  • применение первого замечательного предела.

Для того, чтобы неопределенность была раскрыта, необходимо применять второй замечательный предел, при наличии " open=" 1 ∞ .

Рассмотрим теорию на элементарных примерах заданий.

Найти предел заданной функции lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 x 3 + x .

Для решения необходимо произвести подстановку. Получаем :

lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = ( 0 3 + 2 · 0 + 1 ) 3 2 ( 0 3 + 0 ) = 1 ∞

Получение единицы в степени бесконечность называют неопределенностью, значит, необходимо решить другим методом.

Следует произвести преобразования данного предела. Получаем:

lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e ln lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = = e lim x → 0 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 2 ( x 3 + x )

Видим, что преобразование сводится к пределу вида lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 2 ( x 3 + x ) .

lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 2 ( x 3 + x ) = " open=" 0 0 = 3 2 lim x → 0 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) x 3 + x = = 3 2 lim x → 0 x 3 + 2 x x 3 + x = 3 2 lim x → 0 x 2 + 2 x 2 + 1 = 3 2 · 0 2 + 2 0 2 + 1 = 3

Данные преобразования были выполнены при помощи применения замены логарифма на эквивалентную бесконечно малую функцию.

Тогда исходный предел принимает вид lim x → 0 ( x 2 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e 3 .

Вычисление данного предела возможно с применением второго замечательного предела. Тогда получаем:

lim x → 0 ( x 2 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) 1 x 3 + 2 x ( x 3 + 2 x ) 3 2 ( x 3 + x ) = = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) ) 1 x 3 + 2 x 3 ( x 3 + 2 x ) 2 ( x 3 + x ) = lim x → 0 1 + ( x 3 + 2 x ) ) 1 x 3 + 2 x 3 ( x 2 + 2 ) 2 ( x 2 + 1 ) = = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) 1 x 3 + 2 x 3 = e 3

Найти и вычислить предел lim x → π 2 ( t g x ) 2 c o s x

Если произведем подстановку, в результате получим ответ в виде бесконечности в степени ноль, а это является знаком, что необходимо применить другой метод для преобразования. Получаем:

lim x → π 2 ( t g x ) 2 c o s x = " open=" ∞ 0 = e ln lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = = e 2 lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = e lim x → π 2 ( 2 cos x · ln · ( t g x ) ) = = e 2 lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x

Отсюда видно, что решение сводится к переделу lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x = " open=" ∞ ∞ .

Для дальнейшего преобразования применим правило Лопиталя, так как получили неопределенность в виде частного бесконечностей. Видим, что

lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x = " open=" ∞ ∞ = lim x → π 2 = ln ( t g x ) ‘ 1 cos ( x ) ‘ = = lim x → π 2 1 t g ( x ) · 1 cos 2 ( x ) sin ( x ) cos 2 ( x ) = lim x → π 2 cos ( x ) sin 2 ( x ) = cos π 2 sin 2 π 2 = 0 1 2 = 0

Отсюда следует, что пределом показательно-степенной функции является результат, полученный при вычислении. Имеем вы предел вида lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = e 2 · 0 = e 0 = 1 .

Пример 2
Найти предел $ limlimits_ frac<ln(x^2-7x+11)> $
Решение
Ссылка на основную публикацию
Как разблокировать телефон samsung galaxy j1 mini
Характеристики Samsung Galaxy J1 mini Отзывы о Samsung Galaxy J1 mini Инструкция Samsung Galaxy J1 mini Прошивка Samsung Galaxy J1...
Как поставить темную тему на яндекс браузер
Многие разработчики программ и сервисов стараются добавлять альтернативное оформление в виде темного интерфейса. Замена белого цвета удобна тем, кто много...
Как поставить фото в телеграмме на аватарку
Как в Телеграмме поставить фото на аву (аватар) — ведь трудно недооценить ее значение, картинка в профиле не только формирует...
Как разблокировать флешку от защиты записи
Извиняюсь за заголовок, но именно так задают вопрос, когда при действиях с USB флешкой или SD картой памяти Windows сообщает...
Adblock detector